Prompt para Estudiar Matemáticas Paso a Paso con Ejercicios

Necesito aprender/ repasar [TEMA DE MATEMÁTICAS]. No entiendo bien los pasos y me cuesta aplicar la teoría a los ejercicios.

TEMA:
[DESCRIBIR TEMA O PEGAR PROBLEMAS TIPO]

NIVEL: [ESO / BACHILLERATO / UNIVERSIDAD]

Genera un estudio completo:
1. **Concepto base**: ¿qué es esto en palabras simples? (sin fórmulas primero)
2. **Fórmula/fundamento**: la fórmula clave con cada parte explicada
3. **Pasos de resolución**: algoritmo paso a paso para resolver problemas típicos
4. **Ejemplo guiado**: un problema resuelto con explicación de cada paso
5. **Ejercicios progresivos**:
   - 2 ejercicios fáciles (aplicación directa)
   - 2 ejercicios medios (combinación de conceptos)
   - 1 ejercicio difícil (trampa o variante poco usual)
6. **Trucos y atajos**: cómo resolver más rápido o verificar la respuesta
7. **Errores clásicos**: 3 errores que cometen la mayoría (con ejemplos)
8. **Conexiones**: ¿cómo se conecta esto con otros temas que ya di?
9. **Pregunta tipo examen**: un problema con la dificultad real del examen

Incluye verificaciones intermedias: después de cada paso, cómo saber si voy bien.

TEMA: Relatividad Especial (la contracción de la longitud)
ASIGNATURA: Física de 2º Bachillerato
NIVEL: Bachillerato

Lo que no entiendo:
"Los libros dicen que los objetos se acortan cuando se mueven a velocidades cercanas a la luz, pero no entiendo por qué. ¿Se acorta de verdad o es una ilusión? ¿Por qué solo en la dirección del movimiento?"

Tema: "Derivadas de funciones compuestas (regla de la cadena)"

**CONCEPTO BASE**
La regla de la cadena responde a: "¿cómo derivo algo que tiene algo dentro?" Si tu función es como una caja dentro de otra caja, la regla de la cadena dice: deriva la caja de fuera y multiplícalo por la derivada de la caja de dentro.

**FÓRMULA**
Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
- g'(h(x)) = "derivo la función de fuera, dejando lo de dentro igual"
- h'(x) = "derivo lo de dentro"

**PASOS DE RESOLUCIÓN**
1. Identificar la función "de fuera" y la función "de dentro"
2. Derivar la función de fuera (dejar lo de dentro sin tocar)
3. Multiplicar por la derivada de la función de dentro
4. Simplificar si es posible

**EJEMPLO GUIADO**
f(x) = sen(3x² + 1)

Paso 1: ¿Qué es de fuera y qué es de dentro?
- Fuera: sen(□) → la función seno
- Dentro: 3x² + 1

Paso 2: Derivo la de fuera, dejando la de dentro igual
- Derivada de sen(□) = cos(□)
- Entonces: cos(3x² + 1)

Paso 3: Multiplico por la derivada de la de dentro
- Derivada de 3x² + 1 = 6x
- Resultado: cos(3x² + 1) · 6x

Paso 4: Simplificar
- f'(x) = 6x · cos(3x² + 1)

Verificación: ¿tiene sentido? Sí, la derivada de sen es cos, y la de 3x²+1 es 6x.

**EJERCICIOS**

Fácil 1: f(x) = cos(2x)
Fácil 2: f(x) = (3x + 1)⁴
Medio 1: f(x) = e^(x²-1)
Medio 2: f(x) = ln(sen(x))
Difícil: f(x) = sen²(cos(3x))

[Soluciones paso a paso para cada uno...]

**TRUCOS Y ATAJOS**
- Siempre pregunta: "¿esto tiene algo dentro?" Si sí, usa la cadena.
- Verificación: si tu derivada no tiene un "·" que venga de la derivada interior, algo falta.
- Para funciones con múltiples cadenas (cajas dentro de cajas dentro de cajas), ve de fuera hacia dentro paso a paso.

**ERRORES CLÁSICOS**
1. Olvidar multiplicar por la derivada interior (el "· h'(x)" faltante)
2. Derivar la interior ANTES de dejarla sin tocar en la derivada exterior
3. Confundir la regla de la cadena con la del producto (son cosas diferentes)

**CONEXIONES**
- Regla de la cadena + regla del producto = derivadas de funciones como x·sen(x)
- Regla de la cadena + regla del cociente = derivadas complejas de física
- La cadena es la base para derivar funciones inversas implícitas

**PREGUNTA TIPO EXAMEN**
[Problema con la dificultad de un examen real con solución detallada]